An elementary treatise on theoretical mechanics by Sir James H. Jeans, Physics

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By Sir James H. Jeans, Physics

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Bersetzt man die relative Bewegung aus Abb. 5 in die wirkliche Bewegung der beiden Himmelskörper, so durchlaufen sie Ellipsen um den Schwerpunkt S, der in einem der beiden Brennpunkte liegt, (a) zeigt die Verhältnisse für gleiche Massen m 1 = m 2 ; (b) zeigt den Fall m 2 m 1 . (Im Fall (a) sind die Parameter ε = 0,5, p = 1. Im Fall (b) ist ε = 0,5, p = 0,66. ) Vgl. auch Praktische Übung Nr. 1 17 18 1 Elementare Newton’sche Mechanik Schwerpunktsbewegung und für die Relativbewegung schreiben. Insbesondere ist die gesamte kinetische Energie gleich der Summe aus den kinetischen Energien, die in der Schwerpunktsbewegung und in der Relativbewegung enthalten sind.

Das bedeutet, dass das Teilchen nicht aus dem Kraftfeld entweichen kann, seine Bahnkurve also ganz im Endlichen verläuft. 21 ) jetzt eine Ellipse, siehe Abb. 5, mit p A , der großen Halbachse a = = 1 − ε2 2(−E) √ der kleinen Halbachse b = a2 − c2 = pa = √ . 2µ(−E) Es ergibt sich also eine finite Bahn, die überdies geschlossen und somit periodisch ist. Das erste Kepler’sche Gesetz sagt ja aus, dass die Planetenbahnen Ellipsen sind. Wir wissen jetzt, wann das genau gilt. Alle finiten Bahnen im Potential −A/r sind geschlossen und sind Ellipsen bzw.

R r Da dies eine Zentralkraft ist, d. h. eine Kraft, die auf den Ursprung zu oder von ihm weg gerichtet ist, kann man sie aus einem Potential U(r) = −A/r mit A = Gm 1 m 2 ableiten. Das sieht man wie folgt ein: Zentralkräfte haben die allgemeine Form F(r) = f(r)ˆr , wobei f(r) eine skalare Funktion ist, die in r = |r| mindestens stetig ist. Sei nun r U(r) − U(r0 ) = − f(r ) dr . r0 wo r0 ein beliebiger Bezugswert von r und U(r0 ) eine Konstante ist. Bildet man den Gradienten hiervon, so ist r d U(r) ∇r = − f(r)∇ x 2 + y2 + z 2 = − f(r) .

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