Analisi Matematica II by Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

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By Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

Il presente testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico parte significativa della formazione dell'allievo.

I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica dell'opera ricalca quella usata nel testo parallelo di Analisi Matematica I. l. a. modalit`di presentazione degli argomenti ne permette un uso flessibile e modulare. Lo stile adottato privilegia los angeles chiarezza e los angeles linearit`dell'esposizione. Il testo organizzato su due livelli di lettura. Uno, più essenziale, permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia, di familiarizzarsi con le relative tecniche di calcolo e di trovare le giustificazioni dei principali risultati. L'altro, più approfondito e basato anche sullo studio del materiale presentato nelle appendici, permette all'allievo maggiormente motivato ed interessato di arricchire l. a. sua preparazione. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet`di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con l. a. relativa soluzione. in keeping with oltre l. a. met`di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

Questa nuova edizione si presenta arricchita di contenuti rispetto alla precedente in modo da rispondere alle various possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un secondo corso di Analisi Matematica.

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1 , (n + 1)2 3 26 2 Serie di funzioni e di potenze L’idea di approssimare una funzione mediante una successione di funzioni pi` u semplici, o comunque note, `e alla base di molteplici procedure matematiche, di natura tanto teorica quanto applicativa. Ad esempio, per dimostrare l’esistenza di una soluzione di un’equazione differenziale, `e possibile costruire ricorsivamente una successione di funzioni approssimanti e poi mostrare che esse convergono verso una soluzione cercata. D’altro canto, l’effettivo calcolo dei valori della soluzione dell’equazione differenziale pu` o non essere realizzabile per via analitica, ed allora si pu` o ricorrere a metodologie numeriche, che generano funzioni approssimanti ` aventi una struttura particolarmente semplice, ad esempio polinomiale a tratti.

Non vale il viceversa, come mostrano alcuni degli esempi sottostanti. 5 i) La successione fn (x) = sin x + n1 , n ≥ 1, converge uniformemente a f (x) = sin x in R. Infatti, usando una delle formule di prostaferesi, si ha, per ogni x ∈ R, 1 1 1 1 sin x + − sin x = 2 sin cos x + ≤ 2 sin ; n 2n 2n 2n 1 inoltre, l’uguaglianza `e raggiunta ad esempio per x = − 2n . 1, a sinistra). 1). 1, a destra). Tuttavia, si 0≤x<1 ha convergenza uniforme su ogni sottointervallo Ia = [0, a] con 0 < a < 1 fissato. 1.

10 possono E essere riformulati per le serie di funzioni. Nel seguito, per comodit`a dello studente, riportiamo gli enunciati opportunamente adattati. 17 Sia {fk }k≥k0 una successione di funzioni continue su un in∞ fk converga uniformemente a tervallo I della retta reale tali che la serie k=k0 una funzione s su I. Allora s `e continua su I. 18 (Integrazione per serie) Sia I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato. Sia {fk }k≥k0 una successione di funzioni integrabili su I e tali che ∞ fk converga uniformemente a una funzione s su I.

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