Analysis l by Vladimir A. Zorich

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B) Seien / : X —>• Y und g : Y ^ Z bijektive Abbildungen. Y ^ Z und jede Menge C d Z gilt, d) Beweisen Sie, dass die Abbildung F : X x Y — > - Y x X , die durch die Bezieliung (x, y) I—> (y, x) definiert ist, bijektiv ist. Beschreiben Sie die Verbindung zwischen den Graphen zueinander inverser Abbildungen / : X —> Y und /~^ : Y —> X. 7. a) Zeigen Sie, dass fiir jede Abbildung / : X —>• Y die Abbildung F : X —>• X x Y, die durch die Beziehung x i—> {x,f{x)\ definiert wird, injektiv ist. b) Nehmen Sie an, dass sich ein Teilchen mit gleichformiger Geschwindigkeit auf einem Kreis Y bewegt.

Zu jeder Konfiguration q G Q gehort ein bestimmter Wert U{q) der potentiellen Energie des Systems. Somit ist die potentielle Energie eine Funktion [/ : Q —>• K, die auf einer Teilmenge Q des Konfigurationsraums definiert ist und Werte im Bereich ffi der reellen Zahlen annimmt. Beispiel 12. Die kinetische Energie K eines Systems von n Materieteilchen hangt von deren Geschwindigkeiten ab. h. die Summe der kinetischen und potentiellen Energie, hangt folglich sowohl von der Konfiguration q des Systems als auch von der Menge der Geschwindigkeiten v der Teilchen ab.

7. Beweis. In der Tat gilt: ho (go f)ix) = h{{9 o / ) ( x ) ) = h{9{f{x))) = ih-9){fix)) = = {{hog)of)ix). a Dieser Umstand, den wir von der Addition und Multiplikation niehrerer Zahlen kennen, erlaubt es uns, auf Klanimern zu verzichten, um die Reihenfolge der Kombination anzugeben. Sind alle Bestandteile einer Verkettung / „ o • • • o /^ gleich derselben Funktion / , so kiirzen wir sie durch / " ab. Es ist beispielsweise bekannt, dass die Quadratwurzel einer positiven Zahl a sukzessive mit Hilfe der Forniel 2\ a;„ / mit jedem Anfangswert a;o > 0 angenahert werden kann.

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