Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie: by Winfried Kaballo

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By Winfried Kaballo

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.

Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik.

Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der web site zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.

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A) Die Streifenbedingung (37) ist erf¨ ullt, wenn supp u oder supp v kompakt ist, vgl. Abb. 6. b) Bedingung (37) gilt auch, wenn supp u in einem abgeschlossenen Halbraum H ⊆ Rn und supp v in einem echt in H enthaltenen Kegel enthalten ist, vgl. 24. Im Fall n = 1 gen¨ ugt die Bedingung supp u, supp v ⊆ [0, ∞) , vgl. Abb. 6. 18 F¨ ur die beiden Distributionen u, v ∈ D (Rn ) gelte die Streifenbedingung (37). Dann ist u ∗ v = v ∗ u , und man hat ∂ α (u ∗ v) = ∂ α u ∗ v = u ∗ ∂ α v , α ∈ Nn 0 , supp(u ∗ v) ⊆ supp u + supp v .

Mit ε := d 4 setzen wir einfach η(x) := (ρε ∗ χK2ε )(x) = K2ε ρε (x − y) dy f¨ ur x ∈ Rn . ur x ∈ K hat man Offenbar gelten 0 ≤ η ≤ 1 und supp η ⊆ K3ε Ω nach (9), und f¨ η(x) = K ρε (x − y) dy = Rn ρε (x − y) dy = 1 . Nach (6) ist 2ε ∂ α η(x) = (∂ α ρε ∗ χK2ε )(x) = K2ε ∂xα ρε (x − y) dy (11) f¨ ur x ∈ Rn . Man hat ∂xα ρε (x − y) und aus (11) folgt mit z = x−y ε | ∂ α η(x) | ≤ ε−| α | ε−n Rn Wegen supp η = ε−n ε−| α | (∂ α ρ)( x−y ε ), −| α | | (∂ α ρ)( x−y ε ) | dy = ε Ω folgt daraus die Behauptung (10).

Dann ist jede offene Teilmenge D in M von zweiter Kategorie. Beispiele. a) Es sei G ein Unterraum eines lokalkonvexen Raumes E . Hat G einen ◦ inneren Punkt a ∈ G , so folgt sofort E = G . Ein echter abgeschlossener Unterraum von E ist also nirgends dicht in E . aume b) Nun sei {xn }n∈N eine (algebraische) Basis eines Fr´echetraumes E . Die Unterr¨ Gn := [x1 , . . 3 abgeschlossen, nach a) also nirgends dicht in E , und daher ist der Raum E = n Gn von erster Kategorie. Dies widerspricht jedoch dem Satz von Baire; ein Fr´echetraum kann also nur endliche oder u ahlbare ¨berabz¨ algebraische Dimension haben.

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