Einführung in die Kryptographie by Professor Dr. Johannes Buchmann (auth.)

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Die Abbildung heiBt surjektiv, wenn es fur jedes Element y E Y ein Element x E X gibt mit f(x) = y. Die Abbildung heiBt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Eine bijektive Abbildung heiBt auch Bijektion. Wenn es eine bijektive Abbildung zwischen zwei endlichen Mengen gibt, so haben beide Mengen dieselbe Anzahl von Elementen. 8. Betrachte die Abbildung f : 1N -+ 1N, n t--t f(n) = n. Diese Abbildung ist offensichtlich bijektiv. Betrachte die Abbildung f : 1N -+ 1N, n t--t f(n) = n 2 .

Beweis. Weil m ein Teiler von a-b ist, ist mauch ein Teiler von -a+b. Daher ist -a == -b mod m. Weil m ein Teiler a - b und von c - d ist, ist mauch ein Teiler von a- b+c- d = (a+c) - (b+d). Daher ist a+c == b+d mod m. Urn zu zeigen, daB ac == bd mod mist, schreiben wir a = b + lm und c = d + km. Dann erhalten wir ac = bd + m(ld + kb + lkm), wie behauptet. 8. 7 an, urn zu beweisen, daB die fUnfte Fermat-Zahl 22 5 + 1 durch 641 teilbar ist. 2 Halbgruppen 641 Dies zeigt 25 = 640 + 1 = 5 * 27 + 1.

1. Wir wollen 6 73 mod 100 berechnen. Wir schreiben die Binarentwieklung des Exponenten auf: 73 = 1 + 23 + 26 . Dann bestimmen wir die sukzessiven Quadrate 6, 62 = 36, 622 = 362 == -4 mod 100, 623 == 16 mod 100, 624 == 162 == 56 mod 100, 6 25 == 56 2 == 36 mod 100, 626 == -4 mod 100. Also ist 673 == 6 * 623 * 626 == 6 * 16 * (-4) == 16 mod 100. Wir haben nur 6 Quadrierungen und zwei Multiplikationen in ('lljm'll)* verwendet, urn das Resultat zu berechnen. Hatten wir 673 mod 100 nur durch Multiplikation berechnet, dann hatten wir dazu 72 Multiplikationen modulo 100 gebraucht.

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