Einhüllende Algebren halbeinfacher Lie-Algebren by Jens C. Jantzen (auth.)

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Example text

Aile Gewichtsriiume in Z (n +) sind eindimensional. Beweis. Wir benutzen Induktion uber dimg. 1st g nicht einfach, so Iaf3t sich g in ein Produkt von zwei Lie-Algebren zerlegen, die beide wieder zerfallend und halbeinfach sind sowie echt kleinere Dimension als g haben. Man kann auf beide Faktoren die Induktionsannahme anwenden und erhalt daraus mit einer einfachen Uberlegung die Behauptung fUr g. Nehmen wir nun an, daB g einfach ist. 11 anwenden und ubernehmen dazu die Notationen von dort. 10(4) folgt daher also ZentraJisatoren in EinhUllenden halbeinfacher Lie-Algebren 29 Wir konnen die Induktionsannahme auf Bs anwenden_ Danach ist Z(ns) direkte Summe eindimensionaler Gewichtsraume Z(nst zunachst relativ der LieAlgebra ~s, aber dann auch relativ ~ = ~s €a ( Kern da der zweite Sum- n a), aES mand hier trivial auf ns operiert Die Gewichte gehOren zu ZS.

Es sei nun I i= 0 ein beliebiger Gewichtsvektor wie in a). Die Gewichtsraume in Z(mg)xa:::>Z(mg) haben die Gestalt BZ(mgY'®x;i, also gibt es einen Gewichtsvektor j'EZ(mg') zum Gewicht L r(L)ii L mit I=B(f')x;i(B). )},®x;i mit rEZ und A E L Zii L. )f' gelten. Bemerkung. Fur aIle KEst(B) sei IKEZ(mg) fur E={LEst(B)IL:::>K} wie im Satz gewahlt. K nehmen: Dieses Element ist sicher un- gleich 0, KEg hat ein Gewicht der gewunschten U(mg)" + =Z(mg). 21 m~=ms q~ = Form und gehart zu Fur eine abgeschlossene Teilmenge E c st (B) gibt es ein S C B mit (vgl.

U +p, a V) > 0 (bzw. u +p, a V)~ 0) haben. Fur AEA + + ist ein L(W"A) mit wE WA genau dann a-endlich (bzw. tTA (w- I) (bzw. aETA (w- I)) gilt. Offensichtlich ist mit Mauch jeder Untermodul und jedes homomorphe Bild von M wieder a-endlich (bzw. a-frei). Da 4J (M) n socM' # 0 und 4J(radM)'i4J(M) fur jeden Homomorphismus 4J: M--+M' ungleich 0 von g-Moduln endlicher Lange gilt, folgt Homg(M, M,)=O fUr alle Moduln M, M' in @A, die eine der folgenden Bedingungen erfUllen: (1) Mist a-endlich, und socM' ist a-frei, (2) Mist a-frei, und socM' ist a-endlich, (3) MlradM ist a-endlich, und M' ist a-frei, (4) MlradM ist a-frei, und M' ist a-endlich.

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